Physique · Optique Géométrique

Chapitre 2
Bases
Fondamentales

Apprenez comment la lumière se propage, se réfléchit et se réfracte. Découvrez les lois de Snell-Descartes et le principe de Fermat — de façon interactive.

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Section I

Introduction

L'optique géométrique étudie comment la lumière se propage à grande échelle. Elle étudie trois effets principaux : la propagation, la réflexion et la réfraction.

Tous les résultats de l'optique géométrique viennent d'un seul principe : le principe de Fermat.

➡️ Propagation La lumière avance en ligne droite dans un milieu homogène.
↩️ Réflexion La lumière rebondit sur une surface.
↗️ Réfraction La lumière change de direction quand elle change de milieu.

Section II

Rayons Lumineux

🔦
Un rayon lumineux est un outil pour décrire la propagation de la lumière. Il n'a pas de réalité physique réelle — il ne transporte pas d'énergie.
📐
La notion de rayon lumineux est basée sur le principe de Fermat.
➡️
Dans un milieu homogène (indice $n$ constant), la lumière avance toujours en ligne droite.

Preuve par la chambre noire (sténopé) : un petit trou projette une image renversée — preuve que la lumière va en ligne droite.

🎬 Simulation — Chambre Noire

5 px
50%

→ Plus le trou est petit, plus l'image est nette (mais moins lumineuse).

Section III · 1

Dioptre et Miroir

Qu'est-ce qu'un dioptre ?

Un dioptre est une surface qui sépare deux milieux transparents avec des indices de réfraction différents ($n_1 \neq n_2$).

Dioptre Plan
  • La surface de séparation est plate (plane).
  • Exemple : surface de l'eau, vitre.
  • Les rayons se réfractent selon une ligne droite.
Dioptre Sphérique
  • La surface est courbée (sphérique).
  • Définie par son rayon de courbure $R$ et son centre $C$.
  • Exemple : lentilles, cornée de l'œil.

Qu'est-ce qu'un miroir ?

Un miroir est une surface lisse qui réfléchit la lumière et forme une image. C'est généralement une fine couche de métal.

🪞
Miroir ordinaire (maison) : le métal est déposé derrière la vitre. On voit deux réflexions (vitre + métal).
🔭
Miroir d'instrument : le métal est déposé devant. Une seule réflexion = image plus précise.

Section III · 2

Loi de la Réflexion

Quand la lumière arrive sur une surface, une partie rebondit : c'est la réflexion. On distingue deux types de réflexion selon l'état de la surface.

Réflexion Spéculaire
  • Surface lisse (miroir poli).
  • Tous les rayons réfléchis sont parallèles.
  • On voit une image nette.
  • Exemple : miroir, eau calme, vitre.
Réflexion Diffuse
  • Surface rugueuse (papier, mur).
  • Les rayons sont réfléchis dans toutes les directions.
  • Pas d'image nette — objet visible de partout.
  • Exemple : mur blanc, page de livre.

🎬 Simulation — Types de Réflexion

Réflexion spéculaire : Les rayons restent parallèles après réflexion → image nette comme dans un miroir.

Loi de la Réflexion — $i_1 = i'_1$

Quand la lumière se réfléchit sur une surface :

①
Le rayon réfléchi reste dans le plan d'incidence (même plan que le rayon incident et la normale).
②
L'angle de réflexion $i'_1$ est égal à l'angle d'incidence $i_1$.
$$i_1 = i'_1$$

Loi de la réflexion

Les angles sont mesurés par rapport à la normale — la ligne perpendiculaire à la surface au point de contact. Ce symbole est aussi noté $r = -i_1$ selon les conventions de signe.

40°
Angle incident $i_1$
40°
Angle réfléchi $i'_1$
40°

Vocabulaire essentiel

Rayon incident Le rayon qui arrive sur la surface.
Normale La ligne perpendiculaire à la surface au point de contact.
Plan d'incidence Le plan qui contient le rayon incident et la normale.

Loi de Kirchhoff pour l'Énergie

L'énergie de la lumière se conserve toujours. Lorsqu'un rayon touche une surface, son énergie se sépare en une partie réfléchie, une partie transmise (réfractée) et une partie absorbée.

$$H + R + T = 100\%$$

Conservation de l'énergie ($H$=Absorption, $R$=Réflexion, $T$=Transmission)

Section III · 3

Réfraction

La réfraction est le changement de direction d'un rayon lumineux quand il passe d'un milieu à un autre. Cela se passe parce que la lumière change de vitesse.

➡️
Le rayon se rapproche de la normale si $n_2 > n_1$ (milieu plus dense).
↗️
Le rayon s'éloigne de la normale si $n_2 < n_1$ (milieu moins dense).
🔬
En même temps, une partie du rayon est réfléchie (réflexion partielle).

Exemple concret : Une paille dans un verre d'eau semble "cassée" à la surface — c'est la réfraction !

35°
$i_1$ (incident)
35°
$i_2$ (réfracté)
—
État
—

Expérience : Lame de verre

Quand un rayon traverse une lame de verre, quatre phénomènes se produisent :

①
Rayon incident — arrive dans l'air ($n_1 \approx 1$).
②
Rayon réfléchi — rebondit partiellement sur la surface.
③
Rayon réfracté — pénètre dans le verre ($n_2 = 1{,}52$), se rapproche de la normale.
④
Rayon émergent — sort du verre, parallèle au rayon incident mais décalé.

Hébergement des Milieux : Plus/Moins Réfringent

L'ordre d'indice change le comportement du rayon de lumière :

1. Moins réfringent $\to$ Plus réfringent De l'air ($n=1$) vers le verre ($n=1.52$).
→ L'angle $i_2$ est plus petit que $i_1$.
→ Le rayon "freine" et se rapproche de la normale.
2. Plus réfringent $\to$ Moins réfringent Du verre ($n=1.52$) vers l'air ($n=1$).
→ L'angle $i_2$ est plus grand que $i_1$.
→ Le rayon accélére et s'éloigne de la normale.
🚨 Risque de réflexion totale si $i_1$ est grand !

Section IV

Indice de Réfraction

L'indice de réfraction $n$ d'un milieu indique comment la lumière ralentit dans ce milieu. Plus $n$ est grand, plus la lumière est lente.

$$n = \dfrac{c}{v}$$

Définition de l'indice de réfraction

$c$Vitesse de la lumière dans le vide ≈ $3\times10^8$ m·s$^{-1}$
$v$Vitesse de la lumière dans le milieu [m·s$^{-1}$]
$n$Sans unité, toujours $\geq 1$

$n$ dépend aussi de la longueur d'onde de la lumière (dispersion). C'est pour cela qu'un prisme décompose la lumière blanche en arc-en-ciel.

🔍 Explorateur de Matériaux

MATÉRIAU SÉLECTIONNÉ
Air
Indice $n$
1.000
Vitesse $v$
≈ 3×10⁸
Vitesse relative à $c$
Milieu Indice $n$ Vitesse $v$
Vide $n = 1$ (exactement) $3{,}00 \times 10^8$ m·s⁻¹
Air $1{,}00029$ $\approx 3{,}00 \times 10^8$ m·s⁻¹
Eau $1{,}33$ $2{,}25 \times 10^8$ m·s⁻¹
Verre (Crown) $1{,}52$ $1{,}97 \times 10^8$ m·s⁻¹
Diamant $2{,}42$ $1{,}24 \times 10^8$ m·s⁻¹

Section V

Loi de Snell-Descartes

La loi de Snell-Descartes relie les angles et les indices des deux milieux. Elle permet de calculer exactement comment un rayon change de direction.

$$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$$

Loi de Snell-Descartes (réfraction)

①
Le rayon réfracté reste dans le plan d'incidence.
②
Si $n_2 > n_1$ : $i_2 < i_1$ → le rayon se rapproche de la normale.
③
Si $n_2 < n_1$ : $i_2> i_1$ → le rayon s'éloigne de la normale.
④
Si $i_1 = 0$ (rayon perpendiculaire) : le rayon n'est pas dévié.
40°
1.00
1.52

🧮 Calculateur Snell-Descartes

Donnez $n_1$, $n_2$ et $i_1$ → l'angle $i_2$ est calculé automatiquement.

$n_1$ 1.00 $i_1$ 45°
$n_2$ 1.52
i₂ = 28.1°
1.00 × sin(45°) = 1.52 × sin(28.1°)

Approximation des petits angles (Gauss / Kepler)

Près du centre optique d'une lentille, ou pour des rayons très parallèles à l'axe, les angles d'incidence sont très petits. On utilise alors l'approximation de Kepler (conditions de Gauss).

Pour $i_1$ et $i_2$ de faible valeur (développement limité à l'ordre $DL0$, de sorte que $\sin(i) \approx i$ en radians) :

$$n_1 \cdot i_1 = n_2 \cdot i_2$$

🧭 Comparaison des indices ($n_1$ vs $n_2$)

Le comportement du rayon dépend de la densité optique relative des deux milieux :

$n_2 > n_1$ (Plus réfringent)

Le milieu 2 est plus "dense".

  • Le rayon se rapproche de la normale.
  • L'angle de réfraction est plus petit ($i_2 < i_1$).
  • La vitesse de la lumière diminue.
$n_2 < n_1$ (Moins réfringent)

Le milieu 2 est moins "dense".

  • Le rayon s'éloigne de la normale.
  • L'angle de réfraction est plus grand ($i_2 > i_1$).
  • Possibilité de réflexion totale.

⚡ Réflexion Totale Interne

Si $n_1 > n_2$ (on passe d'un milieu dense à un milieu moins dense), et si $i_1$ devient trop grand, alors tout le rayon est réfléchi — rien ne passe dans le milieu 2. C'est la réflexion totale interne.

$$l = \arcsin\left(\dfrac{n_2}{n_1}\right)$$

Angle critique (limite) $l$ ou $i_c$ (preuve pas-à-pas: $\sin(l) = \frac{n_2}{n_1} \implies l = \arcsin(\frac{n_2}{n_1})$)

🔴
Si $i_1 < i_c$ : le rayon passe dans le milieu 2 (réfraction normale).
🟡
Si $i_1 = i_c$ : le rayon réfracté rase la surface ($i_2 = 90°$).
🟢
Si $i_1 > i_c$ : réflexion totale — toute la lumière revient dans le milieu 1.

Application : La fibre optique utilise ce principe pour transporter la lumière (et l'information) sur de très longues distances sans perte.

30°
✓ Réfraction normale
Angle critique : $i_c \approx 41.1°$

📡 3.5 Application — Les Fibres Optiques

Une application majeure de la réflexion totale interne est le piégeage d'un faisceau lumineux dans les fibres optiques.

Définition

Une fibre optique est constituée de deux cylindres concentriques, formés de matériaux diélectriques d'indices de réfraction différents :

Le Cœur (Core)
Cylindre central de petit diamètre avec un indice de réfraction $n_1$.
La Gaine (Cladding)
Entoure le cœur avec un indice de réfraction $n_2$.
$$n_1 > n_2$$

Condition essentielle pour que la réflexion totale interne se produise.

Vue en coupe — Structure de la fibre

Gaine (n₂) Cœur (n₁)
Structure cylindrique concentrique de la fibre optique — $n_1 > n_2$

3.5.1 — Les fibres optiques à saut d'indice

La lumière sera guidée pour les rayons qui vérifient la condition :

$$i > i_c = \arcsin\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$$

$i$ : angle d'incidence dans le cœur · $i_c$ : angle critique (limite de réflexion totale)

🔴
Si $i < i_c$ : le rayon s'échappe dans la gaine (réfraction).
🟢
Si $i > i_c$ : réflexion totale — la lumière reste confinée dans le cœur.

Schéma de principe — Propagation par réflexions successives

Le rayon lumineux effectue des réflexions totales successives — il "rebondit" indéfiniment dans le cœur.

Section VI

Principe de Fermat

« La nature agit toujours par les voies les plus courtes »

Pierre de Fermat, 1657

Le principe de Fermat dit que la lumière choisit toujours le chemin qui minimise le temps de parcours. Ce n'est pas la distance la plus courte, mais le temps le plus court !

Chemin Optique

Le chemin optique est la distance que la lumière aurait parcourue dans le vide pendant le même temps qu'elle met à traverser le milieu.

$$S = n \cdot \ell$$

Chemin optique $S$ ou $L_{\text{opt}}$ dans un milieu homogène

$$S = \sum n_i \cdot \ell_i$$

Chemin optique dans plusieurs milieux

Détails Mathématiques Fondamentaux :
  • Par définition, la vitesse $v = \dfrac{l}{t}$. Donc dans le vide : $c = \dfrac{S}{t} \implies \mathbf{S = c \cdot t}$
  • L'indice est $n = \dfrac{c}{v}$. Donc le chemin physique $\ell = v \cdot t$.
  • Reliez les deux : $S = c \cdot t = (n \cdot v) \cdot \left(\dfrac{\ell}{v}\right) = \mathbf{n \cdot \ell}$
DÉFINITION DES VARIABLES
$n$Indice de réfraction du milieu
$\ell$Distance réelle parcourue [m]
$\ell_i$Distance dans le milieu $i$
$S$ ou $L_{\text{opt}}$Chemin optique [m]

🎬 Simulation — Chemin Minimal

Déplacez le point de passage sur l'interface. La lumière choisit automatiquement le chemin qui minimise le temps de trajet.

Chemin optique total
—
Temps de parcours
—
État
—

Conséquences du Principe de Fermat

➡️ Propagation rectiligne Dans un milieu homogène ($n$ = constant), le chemin le plus court est la ligne droite.
↩️ Loi de la réflexion Le chemin minimum donne automatiquement $i_1 = i'_1$.
↗️ Loi de Snell-Descartes Le chemin minimum entre deux points dans deux milieux différents donne $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$.

Le principe de Fermat est donc le fondement unique de toute l'optique géométrique. Toutes les lois viennent de ce principe simple.

Évaluation

Quiz — Chapitre 2

Testez vos connaissances sur les bases fondamentales de l'optique géométrique.